14. September 2025
Der Mann im Mond hat eine Vorliebe für unendliche Brüche. Pro (tropisches) Jahr durchläuft der Erdtrabant rund 12.37 volle synodische Zyklen (von Neu- bis Neumond). Ganz genau sind es deren 12.3682662622047, und will man dieses Verhältnis mit Zahnrädern abbilden (etwa für meinen digitalen Lunisolarkalender «Meton» oder meinen mechanischen Mondphasenrechner), dann ist das Entwickeln eines möglichst günstigen Getriebes eine knifflige Sache.
In der Annahme, für die genaue Berechnung der Mondphasen müsse sich ein kompaktes Zahnradgetriebe finden lassen, habe ich mir meinen eigenen Getrieberechner gebaut. Die Prämissen:
- ein Getriebe mit vier Zahnrädern, um eine konzentrische Anzeige zu erreichen,
- mindestens 14 Zähne pro Rad (um sogenannten Unterschnitt zu vermeiden),
- höchstens 100 Zähne pro Rad (um das Getriebe so kompakt wie möglich zu halten), sowie
- eine Abweichung von weniger als einem Tag in 1000 Jahren.
Tatsächlich benötigt eine solche Getrieberechnung nur wenige Codezeilen:
const ratio=12.3682662622047/2; // Zielverhältnis
const min=14; // Minimum Zähne
const max=100; // Maximum Zähne
let diff=ratio;
let gear=[]; // Übersetzungen
for (let i=min; i<max; i++) {
for (let j=min; j<max; j++) {
for (let k=min; k<max; k++) {
for (let l=min; l<max; l++) {
x=Math.abs(i/j*k/l-ratio); // Differenz
if (x<diff || (x==diff && Math.max(i,j,k,l)<Math.max(...gear))) { // grössere Präzision bzw. kleinere Zahnräder
diff=x;
gear=[i,j,k,l]; // Getriebe
}
y=Math.floor(Math.max(...gear)/2); // grösster Faktor
}
}
}
}
for (let m=y; m>min; m--) { // kürzen
if (gear[0]%m===0 && gear[1]%m===0) {
gear[0]/=m;
gear[1]/=m;
}
if (gear[2]%m===0 && gear[3]%m===0) {
gear[2]/=m;
gear[3]/=m;
}
}
console.log(gear); // optimales Getriebe
Das auf diese Weise ermittelte Zahnradgetriebe weist die Übersetzung 39⁄23 × 62⁄17 (Mondphasen) bzw. 64⁄17 × 82⁄23 (Sonnen- und Mondfinsternisse) auf. Damit habe ich meinen digitalen Mondrechner optimiert: «Meton II» berechnet die Mondphasen nun mit einer Abweichung von lediglich 51,5 Sekunden pro Jahr (oder einem Tag in 1678 Jahren). Die Eklipsenrechnung ist mit 6,7 Sekunden Abweichung pro Jahr (oder einem Tag in 12 879 Jahren) gar noch präziser.
Weil's der Mann im Mond, trotz komplizierter Brüche, eben genau wissen will.
Virtuell mechanischer Mondphasen- und Eklipsenrechner «Meton II».
